Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga

Sekarang kita akan mempelajari kebalikan dari operasi kuadrat yaitu akar kuadrat. Jika kuadrat dari 3 adalah 9 maka akar kuadrat dari 9 adalah 3 dan ditulis   akar9  = 3. Dengan demikian, hubungan antara kuadrat dan akar kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

32= 9 dan (–3)2 = 9 maka     akar9  adalah 3 atau –3, dan ditulis     akar9  =  ±3. Jadi, akar kuadrat dari setiap bilangan positif adalah bilangan positif atau bilangan negatif.

a. Cara Menentukan Nilai Akar Kuadrat

Untuk menentukan nilai akar kuadrat dapat dilakukan dengan cara menghitungnya. Cara ini digunakan dengan menandai dari kanan ke kiri dua angka-dua angka suatu bilangan, kemudian menghitungnya dengan cara seperti berikut.

Langkah 1

Carilah bilangan bulat yang jika dikuadratkan kurang dari atau sama dengan 6. Diperoleh 2 karena 22 = 4 < 6.

Langkah 2

Hasil pada langkah 1 dikalikan 2 diperoleh 4. Angka 4 dijadikan puluhan. Angka satuannya dicari sehingga jika dikalikan hasilnya 225.

b. Cara Menentukan Nilai Akar Kuadrat denganMemperkirakan

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang diperoleh dari menguadratkan suatu bilangan bulat. Dengan demikian, akar kuadrat dari bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat. Menentukan akar kuadrat suatu bilangan dengan memperkirakan dapat diperoleh melalui pendekatan dari dua nilai

bilangan kuadrat sempurna yang terletak di antara bilangan itu. Misalkan  c adalah bilangan akar kuadrat yang akan dicari, 

  

akarc  terletak di antara  akara  = p dan akarb  = q dengan p < q. Dengan demikian, nilai  akarc  dengan memperkirakan ditentukan dengan cara sebagai berikut.

c. Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat

Telah dibahas sebelumnya bahwa akar kuadrat merupakan kebalikan dari operasi kuadrat. Demikian juga dengan akar pangkat tiga. Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari operasi pangkat tiga

dapat disimpulkan hal berikut.

Akar pangkat tiga dari bilangan  a adalah  b jika dan hanya jika  b dipangkatkan tiga menghasilkan  a atau dapat dinyatakan sebagai berikut.

d. Cara Menentukan Nilai Akar Pangkat Tiga

Untuk menentukan nilai akar pangkat tiga digunakan faktorisasi prima dari bilangan yang akan ditentukan. Perhatikanlah uraian berikut ini.

Read more ...

Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap Misalkan, 
barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = a 
U2 = U1 . r = ar 
U3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un  = Un-1 . r = arn-1

1. Un = r × Un-1 atau     Un/Un-1

2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembanding 
               n = bilangan asli 
               a = suku pertama  
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun. 
Bila r > 1 maka barisan geometri naik. 
Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun. 
Contoh  : 
a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri
                               1/3,1,3,9. ....
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri : 
                               2,1,1/2,1/4
Jawab:

Read more ...

Barisan Arimatika dan Barisan Geometri

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung 

Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. 

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan 

sebagai berikut : 
U1 = a 
U2 = U1 + b = a + b 
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b 
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b  
.. 
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b 
Un = a + (n – 1 )b 
Dengan n = 1, 2, 3,.. 

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus 
beda dapat di uraikan sebagai berikut : 
U2 = U1 + b => b = U2 - U1 
U3 = U2 + b => b = U3 - U2 
U4 = U3 + b => b = U4  - U3 
. 
. 
. 
Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1 

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun. 
Bila b ˃ 0  maka barisan aritmetika itu naik 
Bila b ˂ 0  maka barisan aritmetika itu turun 

Contoh: 
Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan 
aritmetika tersebut. 
  a. 1, 3, 5, 7,. . . . 
  b. 4, 2, 0, -2,. . . 
Jawab : 
Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan 
aritmetika. 
a.  Barisan 1, 3, 5, 7 . . . 
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh .. 
U1 = 1    U2 = 3    U3 = 5 b = U2  - U1 = 2    b = U3 - U2 = 2  b = U4 - U3 = 2 
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik. 
U10 = U1 (10 - 1) . b     
U10  = 1 + 9 . 2 = 19 
b.   Barisan 4, 2, 0, -2, . .  
U1 = 4  ;   U2 = 2 ;  U3 = 0 ;  U4 = -2 
b = U2  - U1 = - 2 ;  b = U3 - U2 = -2 ;  b = U4 - U3 = - 2 
karena b =  - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus  
Un  = U1 (n - 1) . b       
U10  = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14 
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14 

Read more ...

Himpunan

Sebelum mempelajari bab ini, kalian perlu mengingat kembali materi yang berkaitan dengan himpunan, yaitu bilangan cacah, bilangan asli, bilangan bulat, kelipatan dan faktor serta pertidaksamaan. Pada kehidupan sehari-hari penerapan konsep himpunan sering kita jumpai.

Dalam matematika, untuk menyatakan kumpulan benda-benda dengan jenis atau kelompok yang sama dapat menggunakan himpunan. Jadi, gambar di atas merupakan gambar himpunan enam ekor singa yang menyeberangi sungai. Bagaimanakah menyatakan suatu himpunan dalam matematika?

Bagaimana pula menyatakan irisan, gabungan, dan komplemensuatu himpunan?

Mengenal Himpunan

Kalian tentu memiliki seperangkat alat-alat makan seperti sendok, garpu, piring dan gelas di rumah. Alat-alat tersebut biasanya tersedia dalam jumlah lebih dari satu. Beberapa sendok, beberapa garpu, beberapa gelas dapat dikatakan sebagai himpunan yaitu himpunan sendok, himpunan garpu, dan himpunan gelas.

Mengapa alat-alat tersebut dapat dikatakan sebagai himpunan? Karena alat-alat tersebut definisinya jelas yaitu sebagai alat-alat makan. Akan tetapi, pernyataan beberapa sendok indah, kumpulan garpu indah, kumpulan gelas indah, dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. Mengapa? Karena kata  indah adalah kata yang bersifat subyektif. Indah untuk seseorang belum tentu

indah buat orang lain. Oleh karena itu, kata  indah dikatakan tidak memiliki definisi yang jelas. Dengan demikian, kalimat beberapa gelas indah dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. Berdasarkan penjelasan di atas maka himpunan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Himpunan adalah kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau didefinisikan dengan jelas.

Berdasarkan definisi himpunan tersebut, suatu kumpulan atau kelompok benda ternyata dapat dinyatakan sebagai himpunan dan ada pula yang tidak dapat dinyatakan sebagai himpunan. Agar kalian dapat memahaminya, perhatikan dengan baik dua kelompok benda berikut ini.

• Kumpulan atau kelompok yang merupakan himpunan.

a. Kumpulan binatang berkaki empat yang bertanduk.

b. Kumpulan huruf hidup dalam abjad.

c. Kumpulan bilangan asli yang kurang dari 10.

• Kumpulan atau kelompok yang bukan merupakan

himpunan.

a. Kumpulan orang miskin di Jakarta.

b. Kumpulan siswa-siswa berbadan tinggi.

c. Kumpulan makanan lezat.

Read more ...

Syarat Dua Bangun Datar yang Sebangun

Marilah kita perhatikan persegi panjang  ABCD  dan  PQRS pada Gambar Akan kita selidiki hubungan sisi-sisi kedua persegi panjang itu.

Perhatikanlah panjang sisi-sisi dari kedua persegi panjang di atas.

sisi -sisi yang bersesuaian sebanding.Karena panjang sisi yang lain sama dengan sisi yang telah diketahui, maka cukup dua sisi yang diselidiki. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada dua persegi panjang yang sebangun adalah sebanding.Untuk sudut, karena semua sudut persegi panjang merupakan siku-siku maka dapat dikatakan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudutyang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Read more ...

Syarat Dua Bangun Datar yang Kongruen

Di sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenai pencerminan. Coba sekarang kalian gambar sebuah persegi panjang ABCD  pada buku tulismu,  kemudian cerminkan terhadap sebuah garis.

Berilah nama persegi panjang hasil pencerminan itu,misal  PQRS.  Guntinglah persegi panjang PQRS tersebut,kemudian impitkan dengan persegi panjang ABCD. Setelah itu, salin dan lengkapilah tabel berikut pada bukumu.

Jika isi dari tabel di atas semua sama maka persegi panjang tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Bangun-bangun yang memiliki sifat demikian itu disebut bangun yang  sama dan sebangun atau  kongruen.

Berdasarkan uraian di atas, dapatkah kamu membuat kesimpulan syarat kekongruenan dua bangun datar?

Read more ...

Melukis Segitiga dalam Geometri bidang

MELUKIS SEGITIGA 

Untuk  melukis  segitiga  yang  diketahui  unsur-unsurnys  tidak  dapat  hanya dengan menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat  melukis sisi yang ketiga segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan jangka menjadi keharusan. 

1.  Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya 
Contoh. 

Diketahui ruas garis a, b, c. Lukislah segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c 
 Penyelesaian: 
Langkah-langkah melukis: 
1.   Buat ruas garis a = BC 
2.  Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b. 
3.  Buat  busur  lingkaran  dengan  jari-jari  c  dan  pusatnya  terletak  pada  ujung  lain garis a. 
4.  Kedua busur tadi berpotongan di A. 
5.  Maka didapat  Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.

2.  Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi 

Contoh. 

Diketahui ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b. Lukislah segitiga  

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.   Buat ruas garis b = AB 

2.  Ukur sudut α pada titik B 

3.  Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC. 

3.  Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut 

Contoh. 

Diketahui sudut α,  ruas garis a, dan sudut β. Lukislah segitiga  

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buat ruas garis a = BC 

2.  Dengan menggunakan busur derajat, ukur  sudut α dengan A  sebagai  titik  sudut  dan ukur sudut β  dengan dan B sebagai titik sudut. 

3.  Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C. 

4.    Maka didapat Δ ABC.

4.  Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut 

Contoh. 

Diketahui ruas garis a, b dan sudut α . Lukislah segitiga  

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buat garis a = BC 

2.  Ukur sudut α  pada titik C dengan menggunakan busur derajat. 

3.  Gambar busur  lingkaran dengan pusat B dan  jari-jari  r,  sehingga meotong kaki sudut C di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?) 

4.  Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC. Lukisan (Silahkan Anda coba!) 

Read more ...

Melukis sudut pada Geometri bagian 2

MELUKIS SUDUT

Pada dasarnya, melukis sudut dapat kita lakukan dengan menggunakan busur derajat. Namun  cara ini  kurang  tepat  karena  dituntut  ketelitian  dalam  pengukuran besar  sudutnya  dan  begitu  juga  akan  terjadi  perbedaan  antara  satu  orang  dengan lainnya. Oleh karena itu, dalam melukis sudut terdapat teknik/langkah-langkah dalam melukis sudut.

3.  Melukis Sudut 60o

Contoh . 
Jika diberikan garis l dan titik A, Lukislah Sudut A yang besarnya 60o
. 
Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B. 

2.  Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C. 

3.  Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o

4.  Melukis Sudut 45o

Contoh . 

Jika diberikan garis l dan titik A pada l, Lukislah Sudut A yang besarnya 45o

. 

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Ambil titik B sembarang pada garis l. 

2.  Buat garis t tegak lurus l melalui B 

3.  Buat busur lingkaran dengan jaris-jari BA dan titik pusat B yang memotong garis t di C. 

4.  Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o

5.  Melukis Sudut 30o

Contoh . 

Jika diberikan garis l dan titik A pada l, Lukislah Sudut A yang besarnya 30o

. 

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B. 

2.  Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C. 

3.  Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D 

4.  Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o

. 

.

Read more ...

Melukis sudut pada Geometri

MELUKIS SUDUT 

Pada dasarnya, melukis sudut dapat kita lakukan dengan menggunakan busur derajat. Namun  cara  ini  kurang  tepat  karena  dituntut  ketelitian  dalam  pengukuran besar  sudutnya  dan  begitu  juga  akan  terjadi  perbedaan  antara  satu  orang  dengan lainnya. Oleh karena itu, dalam melukis sudut terdapat teknik/langkah-langkah dalam melukis sudut.

1.  Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui 

Untuk  melukis  suatu  sudut  yang  besarnya  sama  dengan  sudut  lain  dapat ditempuh dengan beberapa cara. Salah  satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar. 

 Contoh. 

Jika  diketahui  sudut A  seperti  pada  gambar  berikut.  Lukislah  sudut  B  yang  besar 

sudutnya sama dengan sudut A.

Penyelesaian: 

Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.

1.  Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D. Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E. 

2.  Buat busur  lingkaran  dengan  titik pusat C melalui  titik D. Pindahkan busur  itu pada titik E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F. 

3.  Tarik  garis m memotong  titik B  dan  titik  F. Garis  l  dan m  adalah  kaki  sudut. Sudut B sama besar dengan sudut A. 

 2.  Melukis Sudut 90o(Sudut Siku-siku) 

Untuk  melukis  sudut-sudut  istimewa,  sebenarnya  Anda  dapat menggunakan  penggaris  dam busur.  Namun  untuk  mendapatkan  hasil  yang  lebih baik lagi, Anda dapat menggunakan penggaris dan jangka. 

Contoh. 

Jika diberikan garis l dan titik A, Lukislah Sudut A yang besarnya 90o

. 

Penyelesaian: 

Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut istimewa tersebut adalah sebagai berikut. 

1.  Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C. 

2.  Buat busur lain dengan pusat di titik B 

3.  Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D. 

4.  Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku). 

Read more ...

MELUKIS GARIS PADA GEOMETRI bagian 2

MELUKIS GARIS

3.  Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut 

Garis Bagi Sudut  adalah  garis  yang  ditarik  dari  salah  satu  titik  sudut  dan membagi  sama  besar  sudut  tersebut.  Adapun  langkah-langkah  melukis  garis  bagi sudut tersebut adalah sebagai berikut. 

Contoh 3. 
Diketahui sudut A. Lukislah garis bagi sudut A  
Penyelesaian: 
Langkah-langkah melukis: 
1.  Lukis  busur  lingkaran  dengan  pusat A  dan  jari-jari  r1,  sehingga  busur  tersebut memotong kaki-kaki sudut A di titik B dan C. 
2.  Lukis busur  lingkaran dengan pusat B dan C,  jari-jari  r2,  sehingga kedua busur berpotongan di titik D. 
3.  Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A. 

4.  Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis  

Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis  tegak lurus terhadap ruas garis yang  diketahui  dan memotong  sama  panjang  ruas  garis  diketahui  tersebut.  Untuk melukis sumbu ruas garis ini diperlukan penggaris dan mistar.

Contoh 4. 

Diketahui ruas Garis AB. Buatlah garis sumbu ruas garis AB. 

Penyelesaian: 

langkah-langkah sebagai berikut. 

1.  Diketahui ruas garis AB 

2.  Lukis  dua  busur  lingkaran masing-masing  di  atas  dan  di  bawah  ruas  garis AB dengan pusat A dan jari-jari r. 

3.  Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga busur yang  terletak di atas ruas garis AB berpotongan di  titik C dan busur yang terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik D. 

4.  Hubungkan C dan D, maka didapat garis CD yang merupakan sumbu ruas garis 

AB. 

5.  Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang 

Untuk menjamin  ketepatan  pembagian  garis menjadi  n  bagian  yang  sama panjang, maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis tersebut adalah sebagai berikut. 

Contoh 5. 

Diketahui garis AB. Lukislah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang  

 Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A) dengan membentuk sudut tertentu (tidak  nol) dengan AB. 

2.  Dengan  menggunakan  jangka,  lukiskan  pada  garis  g  titik  C,  D,  E,  F,  G sedemikian hingga AC = CD = DE = EF = FG.   

3.  Hubungkan B dan G. 

4.  Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik  C, D, R, F. Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N. 

5.  Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang. 

Read more ...

MELUKIS GARIS PADA GEOMETRI

MELUKIS GARIS 

1.  Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus 

Untuk melukis  sebuah  garis    tegak  lurus  dengan  garis  lain  yang melalui titik  di  luar  garis  lain  itu  sebenarnya  dapat  Anda  lakukan  dengan  menggunakan sepasang  penggaris  siku-siku  saja.  Namun  untuk mendapatkan  lukisan  yang  lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut. 

Contoh 1. 
Diketahui garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah garis m Tegak Lurus  l  melalui A  
Penyelesaian: 
Langkah-langkah melukis: 
1.  Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C. 
2.  Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D. 
3.  Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m Tegak lurus garis l.

2.  Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar 

Untuk  melukis  dua  garis  yang  sejajar  dengan  garis  lain  melalui  yang  diketahui  sebenarnya  dapat Anda  lakukan  dengan menggunakan  sebuah  penggaris siku-siku dan sebuah penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk  melukis  dua  garis  yang  saling  sejajar  dengan  menggunakan  jangka  adalah sebagai berikut. 

Contoh 2. 

Diketahui garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah garis m  //  l melalui A 

Penyelesaian: 

Langkah-langkah melukis: 

1.  Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B. 

2.  Lukis  sudut  dengan A  sebagai  titik  sudut  yang  besarnya  sama  dengan  sudut B  dan berseberangan dengannya. 

3.  Didapatlah garis m  //  l 

Read more ...

Pengertian Himpunan

1. Pengertian Himpunan 
Dalam matematika konsep himpunan  termasuk konsep yang tidak didefinisikan  (konsep dasar). Konsep  himpunan  mendasari  hampir  semua  cabang  matematika.  Perkataan himpunan digunakan di  dalam matematika  untuk menyatakan  kumpulan  benda-benda atau  objek-objek yang didefinisikan  dengan  jelas.  lstilah  didefinisikan  dengan  jelas dimaksudkan  agar  orang dapat menentukan  apakah  suatu  benda merupakan  anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut. 

Contoh 1.1 
Kumpulan yang bukan merupakan himpunan 
a.  kumpulan makanan lezat 
b.  kumpulan batu-batu besar 
c.  kumpulan lukisan indah 
Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya  tidak didefinisikan dengan jelas. 

Contoh 1.2 
Kumpulan yang merupakan himpunan 
a.  kumpulan negara-negara Asean 
b.  kumpulan sungai-sungai di Indonesia 
c.  kumpulan bilangan asli genap 
d.  Penduduk Jawa Tengah 

2. Keanggotaan Himpunan 
Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan  yang  anggotanya  a, b, dan  c, maka dapat ditulis A  =  {a, b,  c}.  Jelas bahwa  c anggota  himpunan A,  dapat  ditulis  c   A, demikian  juga  a A  dan  b A.  Tetapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A. 

3. Cara Menyatakan Himpunan 
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan 
a.  menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; 
b.  menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau 
c.  notasi pembentuk himpunan. 

Contoh 1.3 

a.  Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar; 
A = {1,3,5,7) 
B = {0,2,4,6,8, ...} 
C = {Senin, Selasa, Sabtu}. 

b.  Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau  
A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,  
B = Himpunan bilangan cacah genap, 
C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s. 

c.  Notasi pembentuk himpunan. 
A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil} 
B = {x| x bilangan cacah genapl} 
C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s} 

Read more ...

KELIPATAN DAN FAKTOR

1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.

Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.

1 x  3 = 3

2 x  3 = 6

3 x  3 = 9

4 x  3 = 12

...

Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...

2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

3. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

1 x 8 = 8

2 x  4 = 8

Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.

Sekarang perhatikan perkalian berikut.

1 x  2 = 2

1 x  3 = 3

1 x  5 = 5

1 x  7 = 7

Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan prima.

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k .

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) dari dua bilangan adalah

bilangan asli terbesar yang merupakan faktor persekutuan kedua

bilangan tersebut.

Read more ...

Sifat Tanda pada Pembagian bilangan bulat

Misalnya pada suatu saat kalian ditanya, “Berapakah nilai a yang memenuhi persamaan 42 : 7 = a?” Dan pada saat yang lain kalian ditanya lagi, “Bilangan berapakah yang jika dikalikan dengan 7 menghasilkan bilangan 42?”

Dari dua contoh soal tadi, apakah keduanya memiliki jawaban yang sama? Kedua contoh soal di atas dapat di sederhanakan bentuknya menjadi seperti berikut ini.

                                           42 : 7 =  a

                                           a × 7 = 42

Ternyata nilai  a yang memenuhi jawaban kedua pertanyaan di atas adalah 6. Apa yang dapat kamu simpulkan dari kedua bentuk pertanyaan tersebut?

Operasi pembagian bilangan bulat merupakan kebalikandari operasi perkalian, sehingga dapat disimpulkan

Jika  a,  b, dan  c adalah bilangan bulat dan  b | 0 maka a :  b =  c jika dan hanya jika  a =  b ×  c.

Operasi pembagian dapat dinyatakan dalam beberapa

bentuk.

Contoh: 

a.  148 : 4          b.  3/'''''426         c.  15/4

Bentuk pembagian di atas dapat digunakan sesuai kebutuhan. Bentuk 148 : 4 digunakan untuk pembagian yang sederhana, sedangkan bentuk 3/''' 426  biasanya digunakan untuk pembagian yang rumit. 

Ada beberapa istilah yang perlu diketahui dalam operasi pembagian bilangan bulat yaitu pembagi, bilangan yang dibagi, hasil bagi, dan sisa pembagian.

Sifat Tanda pada Pembagian

Pada operasi pembagian bilangan bulat, tanda di depan bilangan yang dibagi perlu diperhatikan.

Contoh:

        36 : 4        = 9 –36 : 4         = –9

        36 : (–4)   = –9 –36 : (–4)   = 9

Read more ...

Sifat-sifat perkalihan bilangan bulat bagian 2

Ini lanjutan dari Sifat-sifat perkalihan bilangan bulat

4) Sifat identitas
Seperti halnya dengan operasi penjumlahan, pada operasiperkalian terdapat suatu bilangan yang jika dikalikan dengan bilangan tertentu akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dapatkah kalian mencari bilangan tersebut?

Perhatikancontoh perkalian berikut ini.
5 × 1 = 5      0 × 1 = 0      –6 × 1 = –6

Dari ketiga contoh perkalian tersebut, ternyata jika suatu bilangan dikalikan dengan bilangan 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri. Dengan demikian, bilangan 1 adalah bilangan identitas atau unsur identitas dari operasi perkalian.

5) Sifat tertutup
Perhatikan operasi perkalian berikut.
2 × 3 = 6      –2 × 4 = –8      3 × –4 = –12
Bilangan-bilangan 2, 3, 4, –2, dan –4 pada operasi perkalian di atas merupakan bilangan bulat. Bilangan 6, –8, dan –12 merupakan hasil dari perkalian bilangan di atas.

Apakah bilangan-bilangan tersebut juga merupakan bilangan bulat? Tentu saja bilangan-bilangan 6, –8, dan –12 juga merupakan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat kita simpulkan bahwa hasil kali bilangan-bilangan bulat akan menghasilkan bilangan bulat juga.

6) Sifat tanda pada perkalian
Dalam operasi perkalian bilangan bulat tanda di depan bilangan yang dikalikan perlu diperhatikan.

Perhatikan contoh berikut ini.
12 × 12 = 144
12 × (–12) = –144
–12 × 12 = –144
–12 × (–12) = 144
Perhatikan pola perkalian di atas. Apa yang dapat kamu
simpulkan? Dari uraian di atas, dapat disimpulkan hal berikut.
Bilangan bulat positif × bilangan bulat positif = bilangan bulat …
Bilangan bulat positif × bilangan bulat negatif = bilangan bulat …
Bilangan bulat negatif × bilangan bulat positif = bilangan bulat …
Bilangan bulat negatif × bilangan bulat negatif = bilangan bulat …

Read more ...

Sifat-Sifat Perkalian Bilangan Bulat

Untuk mengetahui sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat, amati dan lengkapilah isian berikut.

1) Sifat komutatif

Apakah sifat komutatif berlaku pula pada perkalian bilangan bulat? Mari kita selidiki dengan menyalin dan melengkapi tabel di bawah ini.

Amatilah, ternyata bilangan pada kolom  a  ×  b sama dengan bilangan pada kolom ….

Jadi, dapat disimpulkan hal berikut.

Jika  a dan  b adalah bilangan bulat maka

a   b = …  …

2) Sifat asosiatif

Sifat asosiatif disebut juga  sifat pengelompokan. Sifat asosiatif pada perkalian membolehkan kita untuk mengelompokkan bilangan-bilangan yang akan diselesaikan lebih dahulu.

Untuk menyelidiki apakah sifat asosiatif berlaku perkalian bilangan bulat, salin dan lengkapilah tabel berikut ini.

3) Sifat distributif

Sifat distributif disebut juga  sifat penyebaran.

Untuk lebih memahami sifat perkalian di atas, salin dan lengkapilah tabel berikut.

Amatilah, bilangan pada kolom a × (b + c) sama dengan bilangan pada kolom ....

Jadi, dapat simpulkan hal berikut.

Jika  a,  b, dan  c adalah bilangan bulat maka

a   (b +  c) = (…   …) + (…   …)

Dengan menggunakan cara yang sama seperti sebelum-nya, coba kamu buktikan bahwa sifat distributif perkalian juga berlaku terhadap operasi pengurangan. Jika kamu teliti nanti akan dapat kamu buktikan bahwa untuk  a,  b, dan  c adalah bilangan bulat maka berlaku sifat berikut.

Jika  a,  b, dan  c adalah bilangan bulat maka

a   (b –  c) = (a  b) – (a   c)

Sifat ini disbut sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Sifat distributif sering digunakan untuk mempermudah perhitungan seperti pada contoh berikut.

Read more ...