Mudah Belajar Matematika: 2016

Breaking News

Thursday, August 4, 2016

DAFTAR MATERI MATEMATIKA SMA

1. Eksponen dan Bentuk Akar

2. Logaritma

3. Persamaan Kuadrat

4. Fungsi Kuadrat

5. Logika

6. Limit

7. Turunan

8. Persamaan garis singgung

9. Program Linier

10. Sistem persamaan linier dan kuadrat

11. Pertidaksamaan

12. Invers Fungsi

13. Turunan

14. Matriks

15. Vektor

16. Lingkaran

17. Suku banyak

18. Trigometri

19. Barisan dan Deret

20. Bidang datar

21. Dimensi ruang

22. Peluang

23. Statistika

Monday, August 1, 2016

DAFTAR MATERI MATEMATIKA SMP

1. Bilangan Bulat dan Bilangan Pecahan

2. Bentuk Aljabar

3. Persamaan dan pertidaksamaan linier satu Variabel

4. Aritmetika Sosial

5. Perbandingan

6. Himpunan

7. Garis dan sudut

8. Segitiga

9. Segi empat

10. Faktorisasi suku aljabar

11. Relasi fungsi

12. Persamaan garis lurus

13. Sistem persamaan Linier dua Variabel

14. Pythagoras

15. Lingkaran

16. Garis singung lingkaran

17. Kubus dan Balok

18. Limas dan prisma tegak

19. Kesebangunan Bagun datar

20. Bangun Ruang sisi lengkung

21. Statistika dan peluang

22. Pangkat tak sebenarnya

23. Barisan dan deret

Tuesday, March 1, 2016

Cara Melukis dan Menghitung Panjang Garis Singgung dari Sebuah Titik di Luar Lingkaran

Sekarang, kita akan mempelajari cara melukis dan menghitung panjang garis singgung dari sebuah titik di luarlingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan Gambar

Pada Gambar : titik A berada di luar lingkaran dengan pusat O. Untuk melukis garis singgung yang melalui titik A yang terletak di luar lingkaran, perhatikan langkah-langkah berikut.

(i) Hubungkan titik A dengan O.

(ii) Lukislah busur-busur dengan jari-jari OA dengan pusat lingkaran di titik O dan di titik A sehingga busur-busur tersebut berpotongan di P dan Q. Tarik garis dari P ke Q sehingga memotong OA dan tegak lurus di R.

(iii) Lukis lingkaran dengan pusat R dan jari-jari OR sehingga memotong lingkaran O di S dan T. Selanjutnya, tarik garis dari A ke S dan dari A ke T, sehingga diperoleh garis AS dan AT. Apakah garis AS dan AT merupakangaris singgung A pada lingkaran O?

Dapatkah kalian membuktikan bahwa garis AS dan AT pada Gambar(iii) adalah garis singgung? Sekarang, coba perhatikan Gambar(iii). Pada )<AOS, <“ORA adalah sudut yang menghadap busur setengah lingkaran sehingga besar <“ORA = 180° (sudut lurus). Oleh karena “<ASO adalah sudut keliling yang menghadap busur yang sama dengan sudut pusat ORA, maka berlaku <“ASO = 1/2 <“ORA = 90°. Ini berarti garis ASC jari-jari OS. Jadi, garis AS adalah garis singgung titik A ke lingkaran O.

Sekarang dengan cara yang sama, coba kalian buktikan bahwa garis AT juga garis singgung titik A ke lingkaran O. Bandingkan hasil pembuktianmu dengan teman-teman yang lain. Selanjutnya untuk memahami cara menentukan panjang garis singgung dari sebuah titik di luar lingkaran, perhatikan

penjelasan Gambar 7.6 berikut ini.

Pada Gambar 7.6, sebuah lingkaran berjari-jari r dengan pusat O dan titik A di luar lingkaran. Jarak O ke titik A adalah d. Sebuah garis melalui titik A dan menyinggung lingkaran di titik B. Akibatnya terbentuk segitiga siku-siku OBA yang siku-siku di B. Dengan menggunakan dalil Pythagoras, panjang AB dapat ditentukan.

Monday, February 29, 2016

Akar Kuadrat dan Akar Pangkat Tiga

Sekarang kita akan mempelajari kebalikan dari operasi kuadrat yaitu akar kuadrat. Jika kuadrat dari 3 adalah 9 maka akar kuadrat dari 9 adalah 3 dan ditulis akar9 = 3. Dengan demikian, hubungan antara kuadrat dan akar kuadrat tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut.

32= 9 dan (–3)2 = 9 maka akar9 adalah 3 atau –3, dan ditulis akar9 = ±3. Jadi, akar kuadrat dari setiap bilangan positif adalah bilangan positif atau bilangan negatif.

a. Cara Menentukan Nilai Akar Kuadrat

Untuk menentukan nilai akar kuadrat dapat dilakukan dengan cara menghitungnya. Cara ini digunakan dengan menandai dari kanan ke kiri dua angka-dua angka suatu bilangan, kemudian menghitungnya dengan cara seperti berikut.

Langkah 1

Carilah bilangan bulat yang jika dikuadratkan kurang dari atau sama dengan 6. Diperoleh 2 karena 22 = 4 < 6.

Langkah 2

Hasil pada langkah 1 dikalikan 2 diperoleh 4. Angka 4 dijadikan puluhan. Angka satuannya dicari sehingga jika dikalikan hasilnya 225.

b. Cara Menentukan Nilai Akar Kuadrat denganMemperkirakan

Bilangan kuadrat adalah bilangan yang diperoleh dari menguadratkan suatu bilangan bulat. Dengan demikian, akar kuadrat dari bilangan kuadrat sempurna adalah bilangan bulat. Menentukan akar kuadrat suatu bilangan dengan memperkirakan dapat diperoleh melalui pendekatan dari dua nilai

bilangan kuadrat sempurna yang terletak di antara bilangan itu. Misalkan c adalah bilangan akar kuadrat yang akan dicari,

akarc terletak di antara akara = p dan akarb = q dengan p < q. Dengan demikian, nilai akarc dengan memperkirakan ditentukan dengan cara sebagai berikut.

c. Akar Pangkat Tiga Bilangan Bulat

Telah dibahas sebelumnya bahwa akar kuadrat merupakan kebalikan dari operasi kuadrat. Demikian juga dengan akar pangkat tiga. Akar pangkat tiga merupakan kebalikan dari operasi pangkat tiga

dapat disimpulkan hal berikut.

Akar pangkat tiga dari bilangan a adalah b jika dan hanya jika b dipangkatkan tiga menghasilkan a atau dapat dinyatakan sebagai berikut.

d. Cara Menentukan Nilai Akar Pangkat Tiga

Untuk menentukan nilai akar pangkat tiga digunakan faktorisasi prima dari bilangan yang akan ditentukan. Perhatikanlah uraian berikut ini.

Sunday, February 28, 2016

Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap Misalkan,
barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U1 = a
U2 = U1 . r = ar
U3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un = Un-1 . r = arn-1

1. Un = r × Un-1 atau Un/Un-1

2. Un = a × rn-1

Dengan: r = rasio atau pembanding
n = bilangan asli
a = suku pertama
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.
Bila r > 1 maka barisan geometri naik.
Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.
Contoh :
a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri
1/3,1,3,9. ....
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
2,1,1/2,1/4
Jawab:

Friday, February 26, 2016

Barisan Arimatika dan Barisan Geometri

Barisan Arimatika atau Barisan Hitung

Barisan Aretmatika adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap.

Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan

sebagai berikut :
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b
..
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b
Un = a + (n – 1 )b
Dengan n = 1, 2, 3,..

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus
beda dapat di uraikan sebagai berikut :
U2 = U1 + b => b = U2 - U1
U3 = U2 + b => b = U3 - U2
U4 = U3 + b => b = U4 - U3
.
.
.
Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.
Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik
Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Contoh:
Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis barisan
aritmetika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,. . . .
b. 4, 2, 0, -2,. . .
Jawab :
Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing barisan
aritmetika.
a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..
U1 = 1 U2 = 3 U3 = 5 b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2 b = U4 - U3 = 2
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.
U10 = U1 (10 - 1) . b
U10 = 1 + 9 . 2 = 19
b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .
U1 = 4 ; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2
b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2
karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus
Un = U1 (n - 1) . b
U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14

Tuesday, February 23, 2016

Himpunan

Sebelum mempelajari bab ini, kalian perlu mengingat kembali materi yang berkaitan dengan himpunan, yaitu bilangan cacah, bilangan asli, bilangan bulat, kelipatan dan faktor serta pertidaksamaan. Pada kehidupan sehari-hari penerapan konsep himpunan sering kita jumpai.

Dalam matematika, untuk menyatakan kumpulan benda-benda dengan jenis atau kelompok yang sama dapat menggunakan himpunan. Jadi, gambar di atas merupakan gambar himpunan enam ekor singa yang menyeberangi sungai. Bagaimanakah menyatakan suatu himpunan dalam matematika?

Bagaimana pula menyatakan irisan, gabungan, dan komplemensuatu himpunan?

Mengenal Himpunan

Kalian tentu memiliki seperangkat alat-alat makan seperti sendok, garpu, piring dan gelas di rumah. Alat-alat tersebut biasanya tersedia dalam jumlah lebih dari satu. Beberapa sendok, beberapa garpu, beberapa gelas dapat dikatakan sebagai himpunan yaitu himpunan sendok, himpunan garpu, dan himpunan gelas.

Mengapa alat-alat tersebut dapat dikatakan sebagai himpunan? Karena alat-alat tersebut definisinya jelas yaitu sebagai alat-alat makan. Akan tetapi, pernyataan beberapa sendok indah, kumpulan garpu indah, kumpulan gelas indah, dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. Mengapa? Karena kata indah adalah kata yang bersifat subyektif. Indah untuk seseorang belum tentu

indah buat orang lain. Oleh karena itu, kata indah dikatakan tidak memiliki definisi yang jelas. Dengan demikian, kalimat beberapa gelas indah dan beberapa piring indah tidak dapat dikatakan sebagai himpunan. Berdasarkan penjelasan di atas maka himpunan dapat didefinisikan sebagai berikut.

Himpunan adalah kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau didefinisikan dengan jelas.

Berdasarkan definisi himpunan tersebut, suatu kumpulan atau kelompok benda ternyata dapat dinyatakan sebagai himpunan dan ada pula yang tidak dapat dinyatakan sebagai himpunan. Agar kalian dapat memahaminya, perhatikan dengan baik dua kelompok benda berikut ini.

• Kumpulan atau kelompok yang merupakan himpunan.

a. Kumpulan binatang berkaki empat yang bertanduk.

b. Kumpulan huruf hidup dalam abjad.

c. Kumpulan bilangan asli yang kurang dari 10.

• Kumpulan atau kelompok yang bukan merupakan

himpunan.

a. Kumpulan orang miskin di Jakarta.

b. Kumpulan siswa-siswa berbadan tinggi.

c. Kumpulan makanan lezat.

Sunday, February 21, 2016

Syarat Dua Bangun Datar yang Sebangun

Marilah kita perhatikan persegi panjang ABCD dan PQRS pada Gambar Akan kita selidiki hubungan sisi-sisi kedua persegi panjang itu.

Perhatikanlah panjang sisi-sisi dari kedua persegi panjang di atas.

sisi -sisi yang bersesuaian sebanding.Karena panjang sisi yang lain sama dengan sisi yang telah diketahui, maka cukup dua sisi yang diselidiki. Jadi, sisi-sisi yang bersesuaian pada dua persegi panjang yang sebangun adalah sebanding.Untuk sudut, karena semua sudut persegi panjang merupakan siku-siku maka dapat dikatakan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika sudut-sudutyang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding.

Saturday, February 20, 2016

Syarat Dua Bangun Datar yang Kongruen

Di sekolah dasar kalian telah mempelajari mengenai pencerminan. Coba sekarang kalian gambar sebuah persegi panjang ABCD pada buku tulismu, kemudian cerminkan terhadap sebuah garis.

Berilah nama persegi panjang hasil pencerminan itu,misal PQRS. Guntinglah persegi panjang PQRS tersebut,kemudian impitkan dengan persegi panjang ABCD. Setelah itu, salin dan lengkapilah tabel berikut pada bukumu.

Jika isi dari tabel di atas semua sama maka persegi panjang tersebut mempunyai sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang dan sudut-sudut yang bersesuaian sama besar. Bangun-bangun yang memiliki sifat demikian itu disebut bangun yang sama dan sebangun atau kongruen.

Berdasarkan uraian di atas, dapatkah kamu membuat kesimpulan syarat kekongruenan dua bangun datar?

Friday, February 19, 2016

Melukis Segitiga dalam Geometri bidang

MELUKIS SEGITIGA

Untuk melukis segitiga yang diketahui unsur-unsurnys tidak dapat hanya dengan menggunakan penggaris saja. Anda mungkin tidak akan mengalami kesulitan untuk mengukur sisi pertama dan kedua, tetapi akan mengalami kesulitan pada saat melukis sisi yang ketiga segitiga sesuai dengan ukuran yang ditetapkan. Oleh karena itu penggunaan penggaris dan jangka menjadi keharusan.

1. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi-sisinya
Contoh.

Diketahui ruas garis a, b, c. Lukislah segitiga yang sisi-sisisnya a, b, c
Penyelesaian:
Langkah-langkah melukis:
1. Buat ruas garis a = BC
2. Buat busur lingkaran dengan pusatnya salah satu ujung garis a jari-jarinya = b.
3. Buat busur lingkaran dengan jari-jari c dan pusatnya terletak pada ujung lain garis a.
4. Kedua busur tadi berpotongan di A.
5. Maka didapat Δ ABC dengan sisi-sisi a, b, c.

2. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sudut, Sisi

Contoh.

Diketahui ruas garis a, sudut α, dan ruas garis b. Lukislah segitiga

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat ruas garis b = AB

2. Ukur sudut α pada titik B

3. Ukur ruas garis a pada garis yangdidapat, maka didapat Δ ABC.

3. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sudut, Sisi, Sudut

Contoh.

Diketahui sudut α, ruas garis a, dan sudut β. Lukislah segitiga

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat ruas garis a = BC

2. Dengan menggunakan busur derajat, ukur sudut α dengan A sebagai titik sudut dan ukur sudut β dengan dan B sebagai titik sudut.

3. Dari pengukuran sudut α dan β didapat dua garis yang berpotongan di C.

4. Maka didapat Δ ABC.

4. Melukis Segitiga Jika Diketahui Sisi, Sisi, Sudut

Contoh.

Diketahui ruas garis a, b dan sudut α . Lukislah segitiga

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat garis a = BC

2. Ukur sudut α pada titik C dengan menggunakan busur derajat.

3. Gambar busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga meotong kaki sudut C di titik A (Selain A ada titik lain, makakah itu?)

4. Tarik garis BA, maka didapat Δ ABC. Lukisan (Silahkan Anda coba!)

Thursday, February 18, 2016

Melukis sudut pada Geometri bagian 2

MELUKIS SUDUT

Pada dasarnya, melukis sudut dapat kita lakukan dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat karena dituntut ketelitian dalam pengukuran besar sudutnya dan begitu juga akan terjadi perbedaan antara satu orang dengan lainnya. Oleh karena itu, dalam melukis sudut terdapat teknik/langkah-langkah dalam melukis sudut.

3. Melukis Sudut 60o

Contoh .
Jika diberikan garis l dan titik A, Lukislah Sudut A yang besarnya 60o
.
Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 60o

4. Melukis Sudut 45o

Contoh .

Jika diberikan garis l dan titik A pada l, Lukislah Sudut A yang besarnya 45o

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Ambil titik B sembarang pada garis l.

2. Buat garis t tegak lurus l melalui B

3. Buat busur lingkaran dengan jaris-jari BA dan titik pusat B yang memotong garis t di C.

4. Tarik garis m melalui A dan C, maka didapat sudut A = 45o

5. Melukis Sudut 30o

Contoh .

Jika diberikan garis l dan titik A pada l, Lukislah Sudut A yang besarnya 30o

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat busur sembarang dengan titik pusat A dan memotong garis l di B.

2. Pindahkan busur itu ke titik B dan memotong busur pertama di C.

3. Pindahkan lagi busur itu ke titik C hingga memotong busur kedua di D

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapat sudut A = 30o

Wednesday, February 17, 2016

Melukis sudut pada Geometri

MELUKIS SUDUT

Pada dasarnya, melukis sudut dapat kita lakukan dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat karena dituntut ketelitian dalam pengukuran besar sudutnya dan begitu juga akan terjadi perbedaan antara satu orang dengan lainnya. Oleh karena itu, dalam melukis sudut terdapat teknik/langkah-langkah dalam melukis sudut.

1. Melukis Sudut yang Sama Dengan Sudut yang Diketahui

Untuk melukis suatu sudut yang besarnya sama dengan sudut lain dapat ditempuh dengan beberapa cara. Salah satu cara yang paling mudah adalah dengan mengukur sudut yang diketahui dengan menggunakan busur derajat. Namun cara ini kurang tepat terutama apabila pengukurannya kurang teliti. Agar hasil yang diperoleh lebih baik, maka alat bantu yang digunakan sebaiknya adalah jangka dan mistar.

Contoh.

Jika diketahui sudut A seperti pada gambar berikut. Lukislah sudut B yang besar

sudutnya sama dengan sudut A.

Penyelesaian:

Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut yang sama dengan sudut yang diketahui adalah sebagai berikut.

1. Buat busur lingkaran dengan titik pusat A memotong kedua kaki sudut di C dan D. Pindahkan busur itu di B memotong garis l di titik E.

2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C melalui titik D. Pindahkan busur itu pada titik E, sehingga memotong busur pertama tadi di titik F.

3. Tarik garis m memotong titik B dan titik F. Garis l dan m adalah kaki sudut. Sudut B sama besar dengan sudut A.

2. Melukis Sudut 90o(Sudut Siku-siku)

Untuk melukis sudut-sudut istimewa, sebenarnya Anda dapat menggunakan penggaris dam busur. Namun untuk mendapatkan hasil yang lebih baik lagi, Anda dapat menggunakan penggaris dan jangka.

Contoh.

Jika diberikan garis l dan titik A, Lukislah Sudut A yang besarnya 90o

Penyelesaian:

Adapun langkah-langkah untuk melukis sudut-sudut istimewa tersebut adalah sebagai berikut.

1. Buat busur lingkaran dengan pusat titik A hingga memotong garis l di B dan C.

2. Buat busur lain dengan pusat di titik B

3. Pindahkan busur itu ke titik C hingga keduanya berpotongan di D.

4. Tarik garis m melalui A dan D, maka didapatlah sudut A = 90o (siku-siku).

Tuesday, February 16, 2016

MELUKIS GARIS PADA GEOMETRI bagian 2

MELUKIS GARIS

3. Melukis Sebuah Garis Bagi Sudut

Garis Bagi Sudut adalah garis yang ditarik dari salah satu titik sudut dan membagi sama besar sudut tersebut. Adapun langkah-langkah melukis garis bagi sudut tersebut adalah sebagai berikut.

Contoh 3.
Diketahui sudut A. Lukislah garis bagi sudut A
Penyelesaian:
Langkah-langkah melukis:
1. Lukis busur lingkaran dengan pusat A dan jari-jari r1, sehingga busur tersebut memotong kaki-kaki sudut A di titik B dan C.
2. Lukis busur lingkaran dengan pusat B dan C, jari-jari r2, sehingga kedua busur berpotongan di titik D.
3. Lukis garis yang melalui titik A dan D, maka didapat garis bagi sudut A.

4. Melukis Garis Sumbu Sebuah Ruas Garis

Garis Sumbu sebuah ruas garis adalah garis tegak lurus terhadap ruas garis yang diketahui dan memotong sama panjang ruas garis diketahui tersebut. Untuk melukis sumbu ruas garis ini diperlukan penggaris dan mistar.

Contoh 4.

Diketahui ruas Garis AB. Buatlah garis sumbu ruas garis AB.

Penyelesaian:

langkah-langkah sebagai berikut.

1. Diketahui ruas garis AB

2. Lukis dua busur lingkaran masing-masing di atas dan di bawah ruas garis AB dengan pusat A dan jari-jari r.

3. Dengan cara yang sama lukis pula dua busur lingkaran dengan pusat B dan jari-jari r, sehingga busur yang terletak di atas ruas garis AB berpotongan di titik C dan busur yang terletak di bawah ruas garis AB berpotongan di titik D.

4. Hubungkan C dan D, maka didapat garis CD yang merupakan sumbu ruas garis

AB.

5. Membagi Ruas Garis Menjadi n Bagian yang Sama Panjang

Untuk menjamin ketepatan pembagian garis menjadi n bagian yang sama panjang, maka sebaiknya digunakan penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah membagi ruas garis tersebut adalah sebagai berikut.

Contoh 5.

Diketahui garis AB. Lukislah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buatlah garis g sembarang melalui salah satu ujung ruang garis AB (misalkan di A) dengan membentuk sudut tertentu (tidak nol) dengan AB.

2. Dengan menggunakan jangka, lukiskan pada garis g titik C, D, E, F, G sedemikian hingga AC = CD = DE = EF = FG.

3. Hubungkan B dan G.

4. Lukiskan garis-garis sejajar GB, yang masing-masing melalui titik-titik C, D, R, F. Misalkan garis-garis ini memotong AB berturur-turut di K, L, M, dan N.

5. Maka didapatlah pembagian AB menjadi 5 bagian yang sama panjang.

Monday, February 15, 2016

MELUKIS GARIS PADA GEOMETRI

MELUKIS GARIS

1. Melukis Sebuah Garis Tegak Lurus

Untuk melukis sebuah garis tegak lurus dengan garis lain yang melalui titik di luar garis lain itu sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sepasang penggaris siku-siku saja. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis garis tegak lurus dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Contoh 1.
Diketahui garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah garis m Tegak Lurus l melalui A
Penyelesaian:
Langkah-langkah melukis:
1. Buat busur sembarang dengan pusat A hingga memotong garis l di B dan C.
2. Pindahkan busur itu ke B dan C sehingga didapat perpotongan busur di D.
3. Tarik garis melalui A dan D, maka didapat garis m Tegak lurus garis l.

2. Melukis Dua Garis yang Saling Sejajar

Untuk melukis dua garis yang sejajar dengan garis lain melalui yang diketahui sebenarnya dapat Anda lakukan dengan menggunakan sebuah penggaris siku-siku dan sebuah penggaris biasa. Namun untuk mendapatkan lukisan yang lebih baik, Anda dapat menggunakan satu penggaris dan jangka. Adapun langkah-langkah untuk melukis dua garis yang saling sejajar dengan menggunakan jangka adalah sebagai berikut.

Contoh 2.

Diketahui garis l dan titik A di luar garis l. Lukislah garis m // l melalui A

Penyelesaian:

Langkah-langkah melukis:

1. Buat garis sembarang melalui A dan memotong garis l di B.

2. Lukis sudut dengan A sebagai titik sudut yang besarnya sama dengan sudut B dan berseberangan dengannya.

3. Didapatlah garis m // l

Sunday, February 14, 2016

Pengertian Himpunan

1. Pengertian Himpunan
Dalam matematika konsep himpunan termasuk konsep yang tidak didefinisikan (konsep dasar). Konsep himpunan mendasari hampir semua cabang matematika. Perkataan himpunan digunakan di dalam matematika untuk menyatakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan jelas. lstilah didefinisikan dengan jelas dimaksudkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak. Benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan disebut anggota atau elemen himpunan tersebut.

Contoh 1.1
Kumpulan yang bukan merupakan himpunan
a. kumpulan makanan lezat
b. kumpulan batu-batu besar
c. kumpulan lukisan indah
Ketiga contoh kumpulan di atas bukan merupakan himpunan sebab anggota-anggotanya tidak didefinisikan dengan jelas.

Contoh 1.2
Kumpulan yang merupakan himpunan
a. kumpulan negara-negara Asean
b. kumpulan sungai-sungai di Indonesia
c. kumpulan bilangan asli genap
d. Penduduk Jawa Tengah

2. Keanggotaan Himpunan
Himpunan selalu dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, D, dan seterusnya. Jika A adalah himpunan yang anggotanya a, b, dan c, maka dapat ditulis A = {a, b, c}. Jelas bahwa c anggota himpunan A, dapat ditulis c A, demikian juga a A dan b A. Tetapi d bukan anggota himpunan A dan dapat ditulis d A.

3. Cara Menyatakan Himpunan
Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan
a. menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;
b. menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau
c. notasi pembentuk himpunan.

Contoh 1.3

a. Menyebutkan anggota-anggotanya/ cara tabulasi/cara mendaftar;
A = {1,3,5,7)
B = {0,2,4,6,8, ...}
C = {Senin, Selasa, Sabtu}.

b. Menyebutkan syarat anggota-anggotanya; atau
A = Himpunan empat bilangan ash ganjil yang pertama,
B = Himpunan bilangan cacah genap,
C = Himpunan nama-nama hari yang diawali huruf s.

c. Notasi pembentuk himpunan.
A = {x| x < 8, x bilangan asli ganjil}
B = {x| x bilangan cacah genapl}
C = {x| nama-nama hari yang diawali huruf s}

Saturday, February 13, 2016

KELIPATAN DAN FAKTOR

1. Kelipatan Suatu Bilangan Bulat Positif

Jika k anggota A = 1, 2, 3, ... maka kelipatan-kelipatan dari k adalah semua hasil kali k dengan setiap anggota A.

Misalnya, kelipatan 3 sebagai berikut.

1 x 3 = 3

2 x 3 = 6

3 x 3 = 9

4 x 3 = 12

...

Bilangan asli kelipatan 3 dapat ditulis sebagai 3, 6, 9, 12, ...

2. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari Dua Bilangan atau Lebih

Bilangan kelipatan 3 adalah 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, ...

Bilangan kelipatan 4 adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ...

Bilangan kelipatan 3 dan 4 adalah 12, 24, ...

Bilangan terkecil yang merupakan kelipatan persekutuan dari 3 dan 4 adalah 12. Bilangan 12 dalam hal ini disebut Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari 3 dan 4.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari p dan q, dengan p, q anggota himpunan bilangan asli adalah bilangan terkecil anggota himpunan bilangan asli yang habis dibagi oleh p dan q.

3. Faktor Suatu Bilangan dan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

Perhatikan perkalian bilangan berikut.

1 x 8 = 8

2 x 4 = 8

Bilangan 1, 2, 4, dan 8 disebut faktor dari 8.

Sekarang perhatikan perkalian berikut.

1 x 2 = 2

1 x 3 = 3

1 x 5 = 5

1 x 7 = 7

Bilangan-bilangan 2, 3, 5, dan 7 masing-masing hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Bilangan-bilangan seperti ini disebut bilangan prima.

Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan dirinya sendiri. Faktor dari suatu bilangan asli k adalah suatu bilangan asli yang apabila dikalikan dengan bilangan asli lain hasilnya sama dengan k .